Sessão Temática 5

Um Modelo de Partículas Ativadas e sua Transição de Fase

Leonardo Rolla (IMPA)*

O processo acontece numa rede infinita de sítios, cada qual com seus respectivos vizinhos, como um grande tabuleiro de xadrez. Inicialmente há uma quantidade aleatória de partículas em cada sítio, de média µ. Cada partícula espera tocar um relógio exponencial e salta para algum dos sítios vizinhos, e assim por diante, independente das outras partículas. Entretanto, há um outro relógio exponencial que, ao tocar, faz a partícula mudar seu estado de "ativada" para "desativada", caso a partícula encontre-se sozinha no sítio. Uma vez desativada, a partícula não mais saltará e permanecerá nesse estado por tempo indeterminado. A partícula só é ativada novamente caso outra partícula salte para o mesmo sítio.

Um fenômeno importante desse modelo é o de fixação local. Dizer que o sistema fixa localmente significa que, com probabilidade 1, qualquer sítio, a partir de determinado instante, estará vazio ou terá apenas uma partícula desativada e nada mais. Do contrário, em cada sítio haverá pelo menos duas partículas ativas para tempos arbitrariamente grandes e dizemos que não há fixação. Intuitivamente espera-se que para µ pequeno o sistema fixa localmente e para µ grande não há fixação, ao que chamamos de "transição de fase".

Esse é um entre tantos exemplos em que, a partir da descrição axiomática da evolução microscópica de um modelo, pretende-se deduzir o comportamento de algumas variáveis macroscópicas, como, no nosso caso, ter ou não ter fixação.

O estudo de um modelo aparentemente tão simples pode na verdade envolver o uso de técnicas modernas da Teoria da Probabilidade, como acoplamentos, algoritmos de exploração dinâmica, construções gráficas e análise de múltiplas escalas.

Usando da criatividade, podemos elaborar formas alternativas de construir um dado processo preservando sua distribuição de probabilidade. Uma construção alternativa pode fornecer respostas bastante simples para perguntas que, de outra forma, seriam intratáveis.

Vamos introduzir uma representação gráfica com propriedades de comutatividade e monotonicidade muito úteis no estudo do modelo. Tal representação abre um grande espaço para abordagens diretas e construtivas. Com este método provamos que há uma única transição de fase no caso da rede unidimensional.

* Trabalho conjunto com V. Sidoravicius (IMPA)